5.5 Control por realimentación de estados

Diseño mediante asignación de polos

En el enfoque convencional del diseño de un sistema de control con una sola entrada y una sola salida, se diseña un controlador (compensador) tal que los polos dominantes en lazo cerrado tengan una razón de amortiguamiento f y una frecuencia natural no amortiguada un deseada. En este método, el orden del sistema aumenta en 1 o 2, a menos que ocurra una cancelación de polos o ceros.

En lugar de especificar sólo los polos dominantes en lazo cerrado (enfoque del diseño convencional), el enfoque actual de asignación de polos especifica todos los polos en lazo cerrado.

Se selecciona la señal de control como

Esto significa que la señal de control u se determina mediante un estado instantáneo. Tal esquema se denomina realimentación del estado. La matriz K de 1*n se denomina matriz de ganancia de realimentación de estado

Al sustituir la Ecuación del tema anterior en la Ecuación se obtiene

5.5.2 Fórmula de Ackermann 

Determinación de la matriz K utilizando la fórmula de Ackermann.

 Existe una fórmula muy difundida, conocida como la fórmula de Ackermann, para determinar la matriz de ganancias de realimentación del estado K

Se define como:

Se utilizará la siguiente Ecuación para obtener la fórmula de Ackermann. Para simplificar la obtención, se considera el caso en el que n=3. (Para cualquier otro entero positivo n, es posible extender con facilidad el razonamiento seguido.

Tomando en cuenta la Ecuación anterior, se tiene que

Asimismo, se tiene que

Sustituyendo las dos últimas ecuaciones en la Ecuación, se obtiene

Esta última ecuación da la matriz de ganancias de realimentación del estado K deseada. Para un entero positivo arbitrario n, se tiene que

La Ecuación anterior se le conoce como fórmula de Ackermann para la determinación de la matriz de ganancias de realimentación del estado K.