5.4 Controlabilidad y estabilizabilidad

Estabilizabilidad.

Para un sistema parcialmente controlable, si los modos no controlables son estables y los modos inestables son controlables, el sistema se dice entonces que es estabilizable. 

Por ejemplo, el sistema definido por

no es de estado controlable. El modo estable que se corresponde con el valor propio .1 no es controlable. El modo inestable que corresponde al valor propio 1 es controlable. Este sistema se puede estabilizar mediante una realimentación adecuada. Así que este sistema es estabilizable.

 Controlabilidad

Se dice que un sistema es controlable en el tiempo t0 si se puede transferir desde cualquier estado inicial x(t0) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.

 

Kalman introdujo los conceptos de controlabilidad y observabilidad, que juegan un papel importante en el diseño de los sistemas de control en el espacio de estados. De hecho, las condiciones de controlabilidad y observabilidad determinan la existencia de una solución completa para un problema de diseño de un sistema de control.

Controlabilidad completa del estado de sistemas en tiempo continuo

donde

x = vector de estados (vector de dimensión n)

u = señal de control (escalar)

A= matriz de n*n

B= matriz de n*1

 

Condición para controlabilidad completa del estado en el plano s.

Controlabilidad de la salida.

En el diseño práctico de un sistema de control, se puede necesitar controlar la salida en lugar del estado del sistema. Una controlabilidad completa del estado no es condición necesaria ni suficiente para controlar la salida del sistema. Por esta razón, es conveniente definir de forma independiente la controlabilidad completa de la salida. Sea el sistema descrito mediante

Donde

x = vector de estado (vector de dimensión n)

u = vector de control (vector de dimensión r)

y = vector de salida (vector de dimensión n)

A= matriz n*n

B= matriz n* r

C= matriz m*n

D= matriz m*r

 

Sistema no controlable.

Un sistema no controlable tiene un susbsistema que está desconectado físicamente de la entrada.

Observabilidad

Se dice que el sistema es completamente observable si el estado x(t0) se determina a partir de la observación de y(t) durante un intervalo de tiempo finito, t0mt m t1. Por tanto, el sistema es completamente observable si todas las transiciones del estado afectan eventualmente a todos los elementos del vector de salida. El concepto de observabilidad es útil al resolver el problema de reconstruir variables de estado no medibles a partir de variables que sí lo son en el tiempo mínimo posible.

El concepto de observabilidad es muy importante porque, en la práctica, la dificultad que se encuentra con el control mediante realimentación del estado es que algunas de las variables de estado no son accesibles para una medición directa, por lo que se hace necesario estimar las variables de estado no medibles para construir las señales de control. Se demostrará que tales estimaciones de las variables de estado son posibles si y sólo si el sistema es completamente observable.

Observabilidad completa de sistemas en tiempo continuo.

Sea el sistema descrito mediante las Ecuaciones anteriores. El vector de salida y(t) es: