5.3 Estabilidad en el espacio de estado: Punto de equilibrio o punto crítico

Un punto de equilibrio de un sistema dinámico es estable en el sentido de Lyapunov si todas las soluciones que nacen en las cercanías del punto de equilibrio permanecen en dichas cercanías; de otra forma resulta inestable. El punto de equilibrio además es asintóticamente estable si las soluciones además de permanecer en las cercanías de este tienden hacia el punto de equilibrio a medida que transcurre el tiempo. A continuación, se formalizan estos conceptos.

𝑥̇ = 𝑓(𝑥) (1)

Donde las componentes del vector n-dimensional f(x) son continuas y además son funciones "Lipschitzianas" en forma local de x, definidas para todo x en el dominio en D ∈ ℜ. La condición de "Lipschitz" garantiza la existencia y unicidad de la solución de que satisface la condición inicial x(0) = x0

Las singularidades x * para las cuales 𝑥̇ = 𝑓(𝑥∗) = 0 son llamadas puntos críticos, en estos puntos el campo vectorial que determina la dirección de las trayectorias en el espacio fase es nulo. Los eigenvalores λ del sistema guardan una estrecha relación con los puntos críticos ya que determinan la forma en que las trayectorias interactúan con el punto crítico.

Suponiendo que x ∈ D es un punto de equilibrio de (1); o sea 𝑓(𝑥∗) = 0, se pretende caracterizar y analizar la estabilidad de x*. Por conveniencia se considera x=0 lo cual no representa una pérdida de generalización ya que cualquier punto de equilibrio (𝑥∗) ≠ 0 puede ser trasladado al rigen mediante el cambio de variable y: x-x* con lo que se tiene:

𝑦̇ = 𝑥̇ = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦 + 𝑥∗) ≔ 𝑔(𝑦), 𝑐𝑜𝑛 𝑔(0) = 0

En esta nueva variable y, el sistema y = g(y) tiene como punto de equilibrio al origen del espacio de estados. En consecuencia, de ahora en más se considerará que f (x) satisface f (0) = 0 y se estudiará la estabilidad del origen del espacio de estados x = 0 como punto de equilibrio.

Definición

Si Φ (t; t0, x0) representa la solución de (1) dada a partir de la condición inicial x(t0) = x0 a partir del instante inicial t = t0 , entonces el punto de equilibrio x = 0 de (1) es:

1. Lyapunov estable si para cada ε > 0 , hay un δ = δ (ε) > 0 tal que
2. Inestable si no es estable
3. Asintóticamente estable si es estable y δ se puede elegir de modo que

En la siguiente imagen se muestra una representación gráfica de la definición 1 para los tres casos de estabilidad definidos.

 

Puntos de equilibrio en x = 0 con trayectorias solución representativas para un caso: (a) estable, (b) inestable y (c) asintóticamente estable. Una vez definidos los diferentes tipos de estabilidad de los puntos de equilibrio, es necesario encontrar métodos para determinar la misma.