4.3 Compensación con Bode

 4.3 Compensación con Bode

El diseño de un sistema de control comienza por el cálculo de los elementos de potencia en cadena directa tomando en cuenta consideraciones como: potencia necesaria, par máximo, aceleraciones posibles, pesos, dimensiones, costos de fabricación y por el comportamiento transitorio exigido.

 Generalmente los valores calculados del error en régimen estacionario son superiores a los errores permisibles o deseados por lo que surge la necesidad de incluir un elemento que compense tales errores, justamente por medio de un compensador

En el enfoque de la respuesta en frecuencia, se especifica el desempeño de la respuesta transitoria en una forma indirecta. Es decir, el desempeño de la respuesta transitoria se especifica en términos del margen de fase, el margen de ganancia y la magnitud del pico de resonancia, que ofrecen una estimación a grandes rasgos del amortiguamiento del sistema, la frecuencia de cruce de ganancia, la frecuencia de resonancia y el ancho de banda, que ofrecen una estimación a grandes rasgos de la velocidad de la respuesta transitoria y las constantes de error estático. 

Después de diseñar el lazo abierto, se determinan los polos y los ceros en lazo cerrado. Deben verificarse las características de la respuesta transitoria para saber si el sistema diseñado satisface los requerimientos en el dominio del tiempo. 

Básicamente hay dos enfoques de diseño en el dominio de la frecuencia. Uno es el enfoque de la traza polar y el otro es el enfoque de las trazas de Bode. Cuando se añade un compensador, la traza polar no conserva su forma original, por lo que es necesario dibujar una nueva traza polar, esto toma tiempo y, por tanto, no es conveniente.

En cambio, agregar las trazas de Bode del compensador a las trazas de Bode originales es muy simple y, por tanto, graficar las trazas de Bode completas es un asunto sencillo, por lo que este último es preferible para fines de diseño. 

Se puede decir que, en muchos casos prácticos, la compensación es, en esencia, un compromiso entre la precisión en estado estable y la estabilidad relativa.

La ganancia en la región de frecuencia baja debe ser suficientemente grande y, cerca de la frecuencia de cruce de ganancia, la pendiente de la curva de magnitud logarítmica en las trazas de Bode debe ser de−20dB/decada ´. Está pendiente debe extenderse sobre una banda de frecuencia suficientemente amplia para asegurar un margen de fase adecuado. Para la región de frecuencia alta, la ganancia debe atenuarse lo más rápido posible a fin de reducir los efectos del ruido. 

EJEMPLO 4-12 Sistemas de control en tiempo discreto, Ogata. 

Considere el sistema de control digital que se muestra en la Fig. Diseñe un controlador digital en el plano w de tal forma que el margen de fase sea 50°, el margen de ganancia sea de por lo menos 10 dB, y la constante de error estático Kv sea 2/seg. Suponga que el periodo de muestreo es 0.2 seg., T=0.2

Diagrama de bloques del sistema de control digital.

Solución: Primero obtenemos la función de transferencia pulso G (z) de la planta que esta precedida por un retenedor de orden cero:

a continuación, transformamos la función de trasferencia pulso G (z) en una función de transferencia G (w) mediante la transformación bilineal dada por la ecuación:

Entonces: 

Un compensador simple de adelanto de fase probablemente cumplirá todos los requisitos. Por tanto, probaremos compensación mediante adelanto. (si la compensación en adelanto no satisface todos los requisitos, será menester utilizar un tipo de compensación diferente. 

Supongamos ahora que la función de transferencia del controlador digital tiene una ganancia unitaria para el intervalo de baja frecuencia y tiene la forma siguiente:

(se trata de un compensador de atraso de fase) Ésta es una de las formas más sencillas de la función de transferencia del controlador digital. La función de transferencia en lazo abierto es:

La constante de error de velocidad estática Kv queda especificada como 2/seg. Por tanto, 

La ganancia K se determina entonces como el escalar 2. Al definir K=2, trazamos el diagrama de Bode de G (w): 

La figura anterior muestra el diagrama de Bode del sistema. Para las curvas de magnitud hemos utilizado asíntotas con líneas rectas. La magnitud y el Angulo de fase de G (j*v) aparecen como curvas punteadas. Note que el cero en v=10 que ocurre en el semiplano derecho de w da retraso de fase. El margen de fase se puede leer del diagrama de Bode, (curvas punteadas) como 30° y el margen de ganancia como 14.4 dB

-Diseñemos el compensador de adelanto: --Ya que las especificaciones exigen un margen de fase de 50°, el ángulo adicional del adelanto de fase necesario para satisfacer este requisito es de 20°. Para obtener un margen de fase de 50° sin reducir el valor de K, el compensador de adelanto debe contribuir al ángulo de adelanto de fase requerido. --Si se considera el corrimiento de la ganancia en la frecuencia de cruce, debemos suponer que el ángulo máximo de adelanto de fase requerido es de aproximadamente 28° (se han añadido 8° para compensar el corrimiento de la ganancia en la frecuencia de cruce); si:

Una vez que el factor de atenuación (alfa) se ha determinado sobre la base del ángulo de adelanto de fase requerido, el siguiente paso es determinar las frecuencias de esquina del compensador de adelanto: 

A continuación, encontramos el punto de frecuencia donde la magnitud del sistema no compensado es:

Para encontrar el punto de frecuencia donde la magnitud es -4.425 dB, sustituimos w=j*v en G (w) y encontramos la magnitud de G (j*v): 

mediante prueba y error, encontramos que v=1.7, la magnitud se convierte en alrededor de -4.4 dB. Seleccionamos esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia entonces:

Y el compensador de adelanto determinado es: 

Del diagrama de Bode vemos que el margen de fase es 50° y el margen de ganancia es 14 dB. la función de transferencia del controlador se transformara de regreso al plano z mediante la transformación bilineal siendo:

Entonces:

La función de transferencia pulso en lazo abierto del sistema compensado es:

La función de transferencia pulso diseñada en lazo cerrado es

observe que la función de transferencia pulso en lazo cerrado implica dos ceros localizados en z=0.9357 y z=0.8145. este último cero prácticamente se cancela con el polo en lazo cerrado en z=0.8126.

--La compensación de adelanto proporciona el resultado deseado mediante su contribución al adelanto de fase, mientras que la compensación de retardo logra el resultado a través de su propiedad de atenuación a altas frecuencias. 

--La compensación de adelanto suele usarse para mejorar los márgenes de estabilidad. La compensación de adelanto da una frecuencia de cruce de ganancia más alta que la que puede obtenerse con la compensación de retardo. 

 --La frecuencia de cruce de ganancia más alta significa un mayor ancho de banda. Un ancho de banda grande implica una reducción en el tiempo de asentamiento. Si se desea un ancho de banda grande o una respuesta rápida, debe emplearse la compensación de adelanto. Sin embargo, si hay señales de ruido, tal vez no esa adecuado un ancho de anda grande, porque esto hace al sistema más sensible a las señales de ruido, debido a un incremento de la ganancia a altas frecuencias. 

Se ve la cierta equivalencia entre un compensador de adelanto y un regulador PD, mientras que un compensador de retardo equivale a un PI. En el arreglo de compensación adelanto-atraso, se tienen mezcladas ambas combinaciones, pero cabe mencionar que el sistema se vuelve más complicado para su análisis, puede observarse a equivalencia con un regulador PID

 

4.3.1 Compensación en adelanto 

La compensación de adelanto produce, en esencia, un mejoramiento razonable en el tiempo de la respuesta transitoria y un cambio pequeño en la precisión en estado estable. Un inconveniente de este esquema es que puede acentuar los efectos del ruido de alta frecuencia

La función de transferencia del compensador en adelanto es: 

Para prever los efectos de este compensador en el sistema compensado, se analiza a continuación el diagrama polar y también el diagrama de Bode del compensador en adelanto. 

Diagrama polar de la red de adelanto

Nótese que φm aumenta al disminuir el valor de α

El diagrama de Bode de la red de adelanto se muestra a continuación.

 4.3.2 Compensación en atraso 

Por su parte, la compensación de atraso produce un mejoramiento notable en la precisión en estado estable a costa de aumentar el tiempo de respuesta transitoria. Suprime los efectos de las señales de ruido a altas frecuencias.

Un compensador de retardo de fase tiene la siguiente función de transferencia 

En el plano complejo, este compensador tiene un cero en s = − 1 T y un polo en s = − 1 βT . El polo esta a la derecha del cero. La siguiente figura muestra el diagrama de Bode del compensador, con Kc = 1 y β = 10, donde las frecuencias de esquina están en ω = 1/T y ω = 1/(β T):

La función principal de un compensador de atraso es proporcionar una atenuación en el rango de las frecuencias altas a fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema. 

El procedimiento para diseñar compensadores de atraso se plantea considerando que las especificaciones del desempeño se dan en términos del margen de fase, del margen de ganancia, de las constantes de error estático de velocidad, etc.

Diseño del Compensador de Atraso de Fase 

Suponga la función de transferencia en lazo abierto del compensador-sistema con FT G(s) queda determinado por:

Determine la ganancia K que satisfaga el requisito sobre el error máximo permitido, identificando primeramente el tipo de sistema que corresponde (tipo 0, tipo 1, etc.). La ganancia se calcula de la función de transferencia del error del sistema en lazo cerrado E(s) = R(s) 1+G1(s) y haciendo uso del teorema del valor final.

La ganancia se calcula de la función de transferencia del error del sistema en lazo cerrado E(s) = R(s) / 1 + G1(s) y haciendo uso del teorema del valor final, apoyándose en el siguiente procedimiento:

2.- Usando la ganancia K determinada, dibuje las trazas de Bode del sistema con la ganancia ajustada, pero sin compensar G1(w). Si el sistema no compensado G1(jw) = KG(jw) no satisface las especificaciones en los márgenes de fase y de ganancia, encuentre la frecuencia wc en la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto sea igual a −180◦ + el margen de fase requerido + 5 ◦ a 12◦. (La adición de entre 5◦ y 12◦ compensa el atraso de fase del compensador de atraso.) Seleccione esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce wc que debe tener la gráfica de la ganancia.

3.- Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase producido por el compensador de atraso, el polo y el cero del compensador de atraso deben ubicarse mucho más abajo que la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por tanto, seleccione la frecuencia de esquina w = 1/T (que corresponde al cero del compensador de atraso) alrededor de una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia, pudiendo ser un poco menos de una década (por ejemplo, wc/5). (Si las constantes de tiempo del compensador de atraso no se vuelven demasiado grandes, se selecciona la esquina de frecuencia w = 1/T una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia.)

4.- Determine la atenuación necesaria para disminuir la curva de magnitud a 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Considerando que esta atenuación es de −20logβ = 20log 1 β , determine el valor de β. Luego se obtiene la otra frecuencia de esquina (que corresponde al polo del compensador de atraso) a partir de w = 1/(βT). 5.- Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de β obtenido en el paso 4, calcule la constante Kc a partir de

Kc = K / β

Ejemplo: Diseño del Compensador de Atraso de Fase 

Ejemplo: Sea el sistema descrito por la siguiente FT:

Considerar especificaciones de diseño como:

•  Un error en estado estable menor al 20% , es decir, ess ≤ 0.2. 
• Margen de fase de al menos 40 grados. 
• Margen de ganancia de al menos de 10 dB.

1.- El primer paso es determinar la ganancia K del compensador tal que se cumpla con la condición de error en estado estacionario, que en este caso es de 0.05.

Determine el diagrama de Bode con de G1(s) = KG(s). 

MF=-13 grados (-20 grados en el libro) y MG=-4.44 dB Dado que no es el margen de fase deseado (de hecho es negativo y por tanto el sistema inestable), se debe seleccionar la nueva frecuencia de cruce donde se tenga la suma de −180+40+12 = −128 grados, que resulta en una frecuencia de 0.5 rad/s.

3.- La frecuencia que corresponde al cero del sistema debe estar abajo de la nueva frecuencia de corte determinada en el punto 2, a fin de que no se afecte el atraso de fase en la gráfica de Bode resultante, por lo que se elige w = 1/T = 0.1 rad/s como la frecuencia de corte del cero. Nótese que no se eligió una década de frecuencia abajo de la nueva de cruce a fin de evitar constantes de tiempo grande en la respuesta del sistema, esto porque serán dominantes tales raíces en la respuesta del sistema, pues los ceros serán los polos en lazo cerrado

4.- La cantidad de ganancia a disminuir en la nueva frecuencia de corte es aproximadamente de −20 dB. Considerando que esta atenuación debe ser −20logβ = 20log 1 β = −20, por tanto

Luego 1 β = 10−1 , por lo que β = 10. 

La frecuencia de esquina que corresponde al polo del compensador de atraso se calcula como w = 1/(βT) = 0.01 rad/s. 

5.- La ganancia

Por lo que el compensador final es: 

La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es: 

y la de lazo cerrado resulta en:

Si después del diseño del compensador no se tiene un comportamiento satisfactorio, se puede realizar la compensación ya sea de atraso o adelanto en “tipo cascada” hasta lograr un desempeño satisfactorio.

El circuito electrónico del compensador de atraso es el mismo que el de adelanto.

 

 4.3.3 Compensación en adelanto-atraso

El compensador de atraso-adelanto es una combinación de los dos previos. La FT del compensador está dada por:

donde γ > 1 y β > 1. El término:

corresponde al adelanto, mientras que el atraso se da por el término:

Aunque no es una regla, es común elegir γ = β. La frecuencia a la cual la fase es cero está dada por:

El diagrama de Bode sería:

Ejemplo: Diseño de un compensador de atraso-adelanto de fase. Considere el sistema.

Se desea tener un error en estado estable de = 0.1 ó 10%, donde Kv es la constante de error estático de velocidad, que el MF sea de 50 grados y el MG de 10dB, o más.

La parte correspondiente al retardo proporciona alta ganancia a bajas frecuencias, lo que reduce el error en estado estable, mientras que la parte de adelanto de fase aumenta el ancho de banda del sistema, lo que aumenta la velocidad de respuesta del sistema.

Puesto que la ganancia de la planta es ajustable, no es necesario agregarla de forma adicional mediante el compensador. 

Para el cálculo de la ganancia, se puede utilizar el teorema del valor final. Entonces, la ganancia resulta en K = 20. 

El diagrama de Bode del sistema con la ganancia calculada (sin la compensación):

El MF es de −32, por lo que el sistema en lazo cerrado será inestable, no cumpliendo tampoco con las especificaciones e desempeño planteadas.

El siguiente paso es seleccionar la nueva frecuencia de cruce como aquella donde la fase esté en -180 grados, en este caso en 1.5rad/s.

Entonces se puede elegir la frecuencia de cruce de la red de atraso para el cero como una decada abajo de wc , esto es 1 /T2 = wc /10 , esto es 1 / T2 = 0.15. 

Posteriormente, de la red de adelanto se tiene que sinφm = β −1 β + 1 . En este casi, φm se selecciona como el ángulo deseado + 5 a 12 grados adicionales, por lo tanto φm = 55, lo que produce que aprox. β = 10. Produciendo que el polo de la parte del retardo sea 1 βT2 = 0.015rad/s. Finalmente el comp. de atraso es

Para la parte del comp. de adelanto, se observa que a 1.5 rad/s se tiene una ganancia de +13 dB, por lo tanto se elige una recta con una pendiente de +20 dB/dec las coordenadas: frecuencia de 1.5 rad/s y −13 dB. Esto provocara que la suma de ganancia sea cero. Las intersecciones de esta línea con las lineas de 0 dB y −20 dB determinan las frecuencias de cruce de la red de adelanto, que para este ejemplo las frecuencias son w = 0.7 y 7 rad/s, siendo el compensador de adelanto 

Teniéndose la función de transferencia total del sistema compensado, se logra un MF de 50 grados y uno de ganancia de 16 dB. Lo que concluye el diseño. 

A continuación, se anexa una serie de videos sobre mas ejercicios sobre compensaciones de adelatno, atraso y adelanto-atraso vistos en el subtema, 

FUENTES DE INFORMACIÓN UTILIZADAS:

K. Ogata. Ingeniería de Control Moderno. Prentice Hall. 

2 Benjamín C. Kuo. Sistemas de Control Automático, Prentice Hall.

 3 Jesús E. Rodríguez Ávila, Introducción a la Ingeniería en Control Automático, McGraw-Hill 

4 Isidro I. Lázaro C. Ingeniería de Sistemas de Control Continuo, 1ra Edición 2008, Editorial Universitaria