4.1 Gráficas de Bode

 Gráficas de Bode (Diagramas de Bode

Un diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico estadounidense que lo desarrolló, Hendrik Wade Bode.

Es una herramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en electrónica, siendo fundamental para el diseño y análisis de filtros y amplificadores.

El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la frecuencia angular) en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo.

El diagrama de fase de Bode representa la fase de la función de transferencia en función de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logarítmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada. Por ejemplo, tenemos una señal Asin(ωt) a la entrada del sistema y asumimos que el sistema atenúa por un factor x y desplaza en fase −Φ. En este caso, la salida del sistema será (A/x) sin(ωt − Φ). Generalmente, este desfase es función de la frecuencia (Φ= Φ(f)); esta dependencia es lo que nos muestra el Bode. En sistemas eléctricos esta fase deberá estar acotada entre -90° y 90°.

Si la función de transferencia es una función racional, entonces el diagrama de Bode se puede aproximar con segmentos rectilíneos. Estas representaciones asintóticas son útiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo una serie de sencillas reglas (y en algunos casos se pueden predecir incluso sin dibujar la gráfica).


Esta aproximación se puede hacer más precisa corrigiendo el valor de las frecuencias de corte (“diagrama de Bode corregido”).

El uso de cálculo logarítmico nos va a permitir simplificar funciones del tipo

${\displaystyle f(x)=A\prod (x+c_{n})^{a_{n}}}$

a un simple sumatorio de los logaritmos de polos y ceros:

${\displaystyle \log(f(x))=\log(A)+\sum a_{n}\log(x+c_{n})}$

Supongamos que la función de transferencia del sistema objeto de estudio viene dada por la siguiente transformada de Laplace:

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}}$

donde ${\displaystyle s=j\omega }$, ${\displaystyle x_{n}}$ e ${\displaystyle y_{n}}$ son constantes.

Las normas a seguir para dibujar la aproximación del Bode son las siguientes

• en los valores de pulsación correspondientes a un cero (${\displaystyle \omega =x_{n}}$) se tiene que aumentar la pendiente de la recta un valor de ${\displaystyle 20\cdot a_{n}{\text{dB}}}$ por década.
• en los valores de pulsación correspondientes a un polo (${\displaystyle \omega =y_{n}}$) se tiene que disminuir la pendiente de la recta un valor de ${\displaystyle 20\cdot b_{n}{\text{dB}}}$ por década.
• el valor inicial se obtiene poniendo el valor de frecuencia angular inicial ω en la función y calculando el módulo |H(jω)|.
• el valor de pendiente de la función en el punto inicial depende en el número y orden de los ceros y polos en frecuencias inferiores a la inicial; se aplican las dos primeras reglas.

Corrección del diagrama de amplitud

Para corregir la aproximación dibujada en el apartado anterior:

• Donde haya un cero, dibujar un punto de valor ${\displaystyle 3\cdot a_{n}\ \mathrm {dB} }$ por encima de la línea.
• Donde haya un polo, dibujar un punto de valor ${\displaystyle 3\cdot b_{n}\ \mathrm {dB} }$ por debajo de la línea.
• Dibujar una curva que pase por esos puntos utilizando los segmentos rectilíneos de la aproximación a modo de asíntotas.

Este método de corrección no indica cómo trabajar con valores de ${\displaystyle x_{n}}$ o ${\displaystyle y_{n}}$ complejos. En caso de un polinomio irreducible, el mejor modo de corregir la gráfica es calcular el módulo de la función de transferencia en el polo o el cero correspondiente al polinomio irreducible, y dibujar ese punto por encima o por debajo de la línea en el valor de frecuencia angular correspondiente.

Aproximación del diagrama de fase

Sea una función de transferencia de la misma forma que la anterior:

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}}$

Ahora se trata de dibujar gráficas separadas para cada polo y cero, y después unificarlas en un solo gráfico. El valor real de la fase está dado por la fórmula

${\displaystyle \Phi =-\arctan {\bigg (}{\frac {\mathrm {Im} [H(s)]}{\mathrm {Re} [H(s)]}}{\bigg )}}$.

Para dibujar la aproximación, para cada polo y cero:

• si A es positivo, dibujar una línea horizontal en el valor de ordenadas correspondiente a 0 grados
• si A es negativo, dibujar una línea horizontal en 180 grados
• en cada cero (${\displaystyle \omega =x_{n}}$) aumentar la pendiente a ${\displaystyle 45\cdot a_{n}}$ grados por década, comenzando una década antes de que ${\displaystyle \omega =x_{n}}$ (es decir, comenzando en ${\displaystyle {\frac {x_{n}}{10}}}$)
• en cada polo (${\displaystyle \omega =y_{n}}$) disminuir la pendiente a ${\displaystyle 45\cdot b_{n}}$ grados por década, comenzando una década antes de que ${\displaystyle \omega =y_{n}}$ (es decir, comenzando en ${\displaystyle {\frac {y_{n}}{10}}}$)
• cuando la fase cambie ${\displaystyle 90\cdot a_{n}}$ grados (debido a un cero) o ${\displaystyle 90\cdot b_{n}}$ grados (por un polo) volver a eliminar la pendiente
• tras dibujar una línea para cada polo o cero, sumar todas las líneas para obtener la gráfica definitiva.

Ejemplo

Un filtro paso bajo RC, por ejemplo, tiene la siguiente respuesta en frecuencia:

${\displaystyle H(f)={\frac {1}{1+j2\pi fRC}}}$

La frecuencia de corte (f_c) toma el valor (en hercios):

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }={1 \over {2\pi RC}}}$.

La aproximación lineal del diagrama consta de dos líneas agudos y centimetricos:

• para frecuencias por debajo de f_c es una línea horizontal a 0 dB
• para frecuencias por encima de f_c es una línea con pendiente de -20 dB por década.

Estas dos líneas se encuentran en la frecuencia de corte. Observando el gráfico se verá que a frecuencias bastante por debajo de dicha frecuencia, el circuito tendrá una atenuación de 0 decibelios. Por encima, la señal se atenuará, y a mayor frecuencia, mayor atenuación.

Referencias

Oquendo Pérez, N. A. (1986). Análisis por diagrama de Bode de sistemas realimentados por variables de estado (Bachelor's thesis, Quito: EPN, 1986.).

Rubio, F. R., & Santonja, J. A. (1992). De vuelta al diagrama de Bode pasando por el control óptimo. Informática y automática: revista de la Asociación Española de Informática y Automática, 25(2), 5-16.