3.4 Controladores clásicos por realimentación

 3.4 Controladores clásicos por realimentación

Para el estudio del control de procesos se comenzará explicando una de las más comunes y antiguas estrategias de control: El Control Feed-Back o por retroalimentación. En estos sistemas el controlador compara el valor de la variable controlada con su valor deseado y, en función del resultado de esta comparación, modifica la variable manipulada.

Los métodos clásicos de diseño no permiten especificar todos los polos a lazo cerrado de sistemas de orden superior a dos. Esto es porque al realimentar la salida no disponemos del número suficiente de grados de libertad (parámetros) para ubicar de manera independiente todos los polos a lazo cerrado.

Ejemplo de un sistema de control clásico de lazo cerrado

Para realizar el control en lazo cerrado, en primer lugar se deben transformar las variables físicas del sistema (en este caso, la temperatura) en señal eléctrica. Utilizaremos para ello un termopar, un transductor que nos transforma la variación de temperatura en señal eléctrica y lo introduciremos en el horno (ver figura). Posteriormente, la salida del termopar se compara (resta) con la temperatura de referencia. La señal resultante (+, -, 0) se amplifica para mover el eje el calentador. El diagrama de bloques nos muestra todos los elementos que forman el sistema de control en lazo cerrado. 

Figura 1. Modelado de un sistema de lazo cerrado

 3.4.1 Reglas de ziegler-Nichols

Ziegler y Nichols propusieron reglas para determinar los valores de la ganancia proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td, basándose en las características de respuesta transitoria de una planta dada. Tal determinación de los parámetros de los controladores PID o sintonía de controladores PID la pueden realizar los ingenieros mediante experimentos sobre la planta. (Después de la propuesta inicial de Ziegler-Nichols han aparecido numerosas reglas de sintonía de controladores PID. Estas reglas están disponibles tanto en publicaciones técnicas como de los fabricantes de estos controladores.) Hay dos métodos denominados reglas de sintonía de Ziegler-Nichols: el primero y el segundo método.

Primer método. En el primer método, la respuesta de la planta a una entrada escalón unitario se obtiene de manera experimental, tal como se muestra en la Figura 2. Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escalón unitario puede tener forma de S, como se observa en la Figura 3. Este método se puede aplicar si la respuesta muestra una curva con forma de S. Tales curvas de respuesta escalón se pueden generar experimentalmente o a partir de una simulación dinámica de la planta. La curva con forma de S se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T. El tiempo de retardo y la constante de tiempo se determinan dibujando una recta tangente en el punto de inflexión de la curva con forma de S y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo y con la línea c(t) =K, tal como se muestra en la

Figura 2 Respuesta a un escalón unitario de una planta

Figura 3 Curva de la respuesta de un sistema 

Figura 3. En este caso, la función de transferencia C(s)/U(s) se aproxima mediante un sistema de primer orden con un retardo del modo siguiente: 

Tabla 1 Regla de sintonía de Ziegler-Nichols basada en la respuesta escalón de la planta (primer método).

Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y Td de acuerdo con la fórmula que se muestra en la Tabla 1. 

Obsérvese que el controlador PID sintonizado mediante el primer método de las reglas de Ziegler-Nichols produce.

Por tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s= -1/L.

Segundo método. En el segundo método, primero se fija Ti = ∞  y Td = 0. Usando sólo la acción de control proporcional (ver la figura 4), se incrementa Kp desde 0 hasta un valor crítico Kcr, en donde la salida presente oscilaciones sostenidas. (Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor que pueda tomar Kp, entonces este método no se puede aplicar.) Así, la ganancia crítica Kcr y el periodo Pcr correspondiente se determinan experimental

Figura 4 sistema de lazo cerrado con un controlador proporcional 

Figura 5 Oscilación sostenida con periodo Pcr (Pcr se mide en seg.).

mente (véase la Figura 5). Ziegler-Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parámetros Kp, Ti y Td de acuerdo con la fórmula que se muestra en la Tabla 2.

     

Tabla 2 Regla de sintonía de Ziegler-Nichols basada en la ganancia crítica Kcr y periodo crítico Pcr (segundo método).

Obsérvese que el controlador PID sintonizado mediante el segundo método de las reglas de Ziegler-Nichols produce

Por tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s = .4/Pcr. Conviene darse cuenta de que, si el sistema tiene un modelo matemático conocido (como la función de transferencia), entonces se puede emplear el método del lugar de las raíces para encontrar la ganancia crítica Kcr y las frecuencias de las oscilaciones sostenidas ωcr, donde 2π/ωcr=Pcr. Estos valores se pueden determinar a partir de los puntos de cruce de las ramas del lugar de las raíces con el eje jω. (Obviamente, si las ramas del lugar de las raíces no cortan al eje jω este método no se puede aplicar.)

3.4.2 Aplicación de las reglas de Ziegler-Nichols

Ejemplo 

Sea el sistema de control que se muestra en la Figura 6, en el cual se   usa un controlador PID para controlar el sistema. El controlador PID tiene la función de transferencia 

Aunque existen muchos métodos analíticos para el diseño de un controlador PID para este sistema, se aplica la regla de sintonía de Ziegler-Nichols para la determinación de los valores de los parámetros Kp, Ti y Td. A continuación, obtenga una curva de respuesta escalón unitario y compruebe si el sistema diseñado presenta una sobreelongación de aproximadamente el 25%. Si la sobreelongación es excesiva (40% o más), haga una sintonía fina y reduzca la cantidad de sobreelongación al 25% o menos.

Como la planta tiene un integrador, se utiliza el segundo método de las reglas de sintonía de Ziegler-Nichols. Fijando Ti = ∞ y Td = 0, se obtiene la función de transferencia en lazo cerrado del modo siguiente: 

El valor de Kp que hace al sistema marginalmente estable para que ocurra una oscilación sostenida se obtiene mediante el criterio de estabilidad de Routh. Como la ecuación característica para el sistema en lazo cerrado es

el array de Routh es:

Examinando los coeficientes de la primera columna del array de Routh, se encuentra que ocurrirá una oscilación sostenida si Kp = 30. Así, la ganancia crítica Kcr es 

Kcr = 30 

Con la ganancia Kp fijada igual a Kcr(=30), la ecuación característica es

Para encontrar la frecuencia de la oscilación sostenida, se sustituye s =  jω en la ecuación característica, del modo siguiente:

o bien

a partir de lo cual se encuentra que la frecuencia de la oscilación sostenida es u^2 = 5 o ω =  √5. Así, el periodo de la oscilación sostenida es

Teniendo en cuenta la Tabla 2, se determinan Kp, Ti y Td del modo siguiente:

Por tanto, la función de transferencia del controlador PID es

El controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s= -1.4235. En la Figura 7 se muestra un diagrama de bloques del sistema de control con el controlador PID diseñado. A continuación, se examina la respuesta escalón unitario del sistema. La función de transferencia en lazo cerrado C(s)/R(s) está dada por

Figura 7 Diagrama de bloques del sistema del PID