3.3 Diseño de Controladores por la técnica del lugar de las raíces.

Para diseñar los controladores, una opción fiable es basarnos en la herramienta del lugar de las raíces, útil para analizar sistemas lineales dinámicos tipo SISO (single input single output) y su estabilidad.

El lugar de las raíces permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia en lazo cerrado para un determinado valor de ganancia a partir de la función de transferencia en lazo abierto G(s).

Entonces, el Lugar de las Raíces se define como el lugar geométrico que recorren los polos de un sistema en lazo cerrado cuando el valor de la ganancia proporcional K de su correspondiente función de transferencia en lazo abierto varía de 0 a +∞. Relacionado con este concepto, si dicha ganancia varía de 0 a -∞ el lugar geométrico recorrido por los polos del lazo cerrado recibe el nombre de Lugar Inverso de las Raíces. Así mismo, si es otro parámetro diferente a K el que varía de 0 a +∞ (o de 0 a -∞) se denomina Contorno de las Raíces o Lugar de las Raíces Generalizado (Contorno Inverso de las Raíces o Lugar Inverso de las Raíces Generalizado) a la trayectoria seguida por los polos.

Dado el sistema de la Figura 1, los polos en lazo cerrado satisfacen la ecuación característica:

(Ec1)

Figura 1: Diagrama de bloques de un sistema realimentado general

Es decir, un punto s₀ del plano complejo para que sea polo del lazo cerrado ha de cumplir dicha ecuación. Ya que s es una variable compleja, la ecuación anterior se puede desdoblar en las siguientes:

(ec2)

por lo que el punto s₀ es polo del sistema en lazo cerrado si satisface ambas condiciones. Nótese que ambas condiciones están referidas a la función de transferencia de lazo abierto del sistema.

En el contexto del Lugar de las Raíces el parámetro K es positivo y, por tanto, la condición del argumento queda simplificada a la expresión:

(ec3)

ya que el argumento de un número real positivo es nulo. Entonces, dicha condición únicamente depende de la variable s y bastará, por lo tanto, con realizar la comprobación de si el punto en cuestión s₀ cumple la condición del argumento para determinar si dicho punto es polo del sistema en lazo cerrado para algún valor positivo de K. En caso afirmativo, mediante la condición del módulo se podrá conocer el valor concreto de la ganancia proporcional K para la cual el punto s₀ es raiz de la ecuación característica. Es decir, los puntos del plano complejo que satisfacen la condición del argumento son polos del sistema para algún valor positivo de K, y por lo tanto, pertenecen al Lugar de las Raíces.

De esta forma, si se tiene un sistema cuya función de transferencia en lazo abierto es KG(s)H(s) =

, y se desea calcular el valor de la ganancia proporcional para la cual un punto s₀ es polo del sistema en lazo cerrado, entonces es necesario primeramente comprobar que efectivamente dicho punto puede ser polo del sistema en lazo cerrado para algún valor de la constante K positiva, esto es, si cumple la condición del argumento y, por tanto, pertenece al Lugar de las Raíces.

La condición del argumento se puede comprobar de dos formas. La primera consiste en realizar directamente el cálculo del argumento del número complejo resultante de sustituir s por s₀ en la función de transferencia en lazo abierto, y comprobar si se trata de un número impar de veces 180∘(o π radianes).

(ec4)

Figura 2: Representación gráfica de polos y ceros de la función de transferencia en lazo abierto del sistema con un cero en s = -z₁ y dos polos en s = 0 y s = -p₂

La segunda forma consiste en realizar el mismo cálculo de forma gráfica. Si la configuración de polos y ceros de la función de transferencia en lazo abierto es la que se indica en la Figura 2, s₀ pertenecerá al lugar de las raíces si se cumple:

(ec5)

Si esta condición se verifica, entonces se puede asegurar que el punto s₀ es raíz de la ecuación característica del sistema en lazo cerrado para algún valor positivo de K, y mediante la condición del módulo se puede obtener el valor del parámetro K que hace que s₀ sea polo del sistema en lazo cerrado. A partir de la Figura 2, se deduce que:

(ec6)

Tal y como se ha planteado este método se puede pensar que el procedimiento para construir el Lugar de las Raíces entraña una búsqueda infinita de puntos s₀ que verifiquen la condición del argumento. Afortunadamente no es así. En los párrafos que siguen se va a desarrollar, mediante una serie de reglas de sencillo manejo, un método para la construcción aproximada del Lugar de las Raíces de un sistema.

3.3.2 Construcción del Lugar de las Raíces.

Se presenta un procedimiento sistemático para obtener una representación aproximada de las trayectorias que siguen las raíces de la ecuación característica de un sistema de control cuando el valor de la ganancia del lazo abierto varía de 0 a +∞.

En primer lugar, debe escribirse la ecuación característica en la forma siguiente:

(ec7)

donde K F(s) es la función de transferencia del lazo abierto del sistema. Factorizando F(s) dicha expresión queda:

(ec8)

En el caso típico de sistema de control realimentado (ver Figura 2), F(s) = G(s)H(s), que es la función de transferencia del lazo abierto sin incluir la ganancia ajustable K.

Una vez escrita la ecuación característica de este modo, se aplica el método descrito a continuación para la construcción del Lugar de las Raíces.

3.3.3 Reglas para la construcción de Lugar de las Raíces

El primer paso para la construcción de Lugar de las Raíces consiste en marcar en el plano complejo s la situación de los polos (aspas) y ceros (círculos) de la función de transferencia F(s). A partir de aquí se aplican una serie de reglas que se basan en la relación existente entre los polos y ceros de la función de transferencia F(s) y las raíces de la ecuación característica (ecuación 7).

A continuación, se listan de forma resumida las diferentes reglas que se han de aplicar para la construcción del Lugar de las Raíces.

Número de ramas, comienzo y final.
Cada rama del Lugar de las Raíces corresponde a la evolución geométrica de un polo de la función de transferencia en lazo cerrado en el plano s según varía el valor de la ganancia proporcional K desde 0 hasta +∞. Entonces habrá tantas ramas como polos haya en lazo cerrado, y se puede demostrar que el número de polos en lazo cerrado es el número de polos que tiene la función de transferencia F(s). Asimismo se puede comprobar que las ramas parten (puntos de comienzo de las ramas para K = 0) de los polos de la función de transferencia F(s), y finalizan (puntos de llegada para K = ∞) en los ceros de la misma.
Si el número de ceros en la función de transferencia F(s) es inferior al de polos existirá un número de ramas que tienden al infinito igual al exceso polo-cero (n - m), siendo n y m el número de polos y ceros, respectivamente, de F(s).
Lugar sobre el eje real del plano s.
Simetría.
Dado que si un sistema real tiene un polo complejo deberá tener también su complejo conjugado, entonces, el Lugar de las Raíces ha de ser simétrico respecto al eje real.
Asíntotas e intersección de las mismas.

Como se ha visto en la primera regla, si el exceso polo-cero de la función de transferencia F(s) es diferente de cero, entonces habrá ramas que para grandes valores de la ganancia K tiendan al infinito de forma asintótica. Estas asíntotas son rectas que forman el siguiente ángulo con la parte positiva del eje real:

(ec9)

Las n - m asíntotas se cortan en el eje real a una distancia σ del origen dada por la ecuación:

(ec10)

5. Ángulos de salida y llegada de las ramas.

El ángulo con el que una rama del Lugar de las Raíces sale de un polo de la función de transferencia F(s), o llega a un cero de la misma, se obtiene suponiendo un punto auxiliar s₀ perteneciente al Lugar de las Raíces infinitamente próximo al polo o cero en cuestión, y aplicando el principio del argumento.

(ec11)

Así, para obtener el ángulo de salida de la rama que parte del polo -p_j queda como única incógnita de la ecuación anterior el argumento del número complejo s₀ + p_j, que corresponde al ángulo que forma la rama del Lugar de las Raíces que parte del polo -p_j con la horizontal (ver Figura 3).

Figura 3: Ángulo de salida de la rama que parte del polo p_j

6. Puntos de dispersión o confluencia de ramas.

Dado que las ramas del Lugar de las Raíces representan los puntos del plano s que son polos del sistema en lazo cerrado para algún valor de la ganancia K, se puede inferir que, si una serie de ramas convergen a un punto, de ese mismo punto han de salir tantas ramas como entraron. Estos puntos se denominan puntos de dispersión o de confluencia de ramas del Lugar de las Raíces, y son raíces de la ecuación:

Hay que tomar en cuenta que no todas las soluciones de la ecuación anterior son puntos de dispersión o confluencia del Lugar de las Raíces. Sólo serán válidas aquellas soluciones que se corresponden con puntos del plano complejo que satisfacen la condición del argumento de la ecuación característica del sistema.

7.Intersección con el eje imaginario.

Los puntos de intersección de las ramas del Lugar de las Raíces con el eje imaginario corresponden, generalmente, a valores de la ganancia K que hacen el sistema en lazo cerrado críticamente estable.

Por ello, para obtener tanto los polos en el eje imaginario como los valores de la ganancia K correspondientes, se utilizará la regla de Routh-Hurwitz aplicada al polinomio característico del sistema en lazo cerrado. Nótese que para dichos valores de K el sistema será críticamente estable si no existen polos del sistema en lazo cerrado en el semiplano derecho del plano complejo. Ha de tenerse en cuenta que aparte de los polos que para dichos valores de K están sobre el eje imaginario el sistema puede tener otros que han de ser estables para que el sistema sea críticamente estable.

8. Suma de raíces.

Se puede demostrar que la suma de las raíces de la ecuación característica (polos de la función de transferencia en lazo cerrado) es constante e igual al coeficiente cambiado de signo del término de orden n - 1 del polinomio característico del sistema cuando el término de orden n es la unidad. Aun no tratándose de una regla que sea necesaria para la construcción del Lugar de las Raíces, puede ser útil en muchos casos.

9. Determinación de la ganancia K.

En todos aquellos casos en los que sea necesaria la obtención del valor de la ganancia K para la cual algún punto del plano s pertenece al Lugar de las Raíces se realizará aplicando la condición del módulo.

3.3.4 Ejemplo de construcción del Lugar de las Raíces

Se desea conocer las trayectorias descritas por los polos del sistema en lazo cerrado de la Figura 4 cuando el valor de la ganancia K del control proporcional varía de 0 a ∞. Además, a partir de dicho resultado se analizará la dinámica del sistema según sea el valor de dicha ganancia.

Figura 4: Diagrama de bloques de un sistema con control proporcional

Observando el diagrama de bloques, la función de transferencia del lazo abierto del sistema es:

(ec11)

Asimismo, para el posterior análisis de la dinámica del sistema es necesario calcular la función de transferencia en lazo cerrado, siendo ésta:

(ec12)

Se puede observar que en lazo cerrado aparecen dos ceros (el de la cadena directa y el polo de la realimentación) cuyos efectos en la dinámica habrá que tener en cuenta.

En primer lugar, para construir el Lugar de las Raíces habrá que marcar en el plano s la situación de los polos (aspas) y ceros (círculos) de la función de transferencia F(s) = G(s)H(s) (ec11). A continuación, se aplican las reglas de construcción vistas en el apartado anterior. Nótese que esquemas de control diferentes del mostrado en la Figura 4 pero con la misma F(s) tendrán el mismo Lugar de las Raíces que éste ya que el Lugar de las Raíces se construye a partir de la función de transferencia F(s).

1. Número de ramas, comienzo y final.

Dado que la función de transferencia F(s) tiene 4 polos, la función de transferencia en lazo cerrado tendrá 4 polos y existirán por tanto 4 ramas en el Lugar de las Raíces. Las 4 ramas partirán de los 4 polos de F(s) (que son polos de la función de transferencia en lazo cerrado cuando K = 0):

Una de dichas ramas finalizará en el cero de F(s) (que es polo de la función de transferencia en lazo cerrado cuando K tiende a ∞):

s = -2

Las otras tres ramas (exceso polo-cero) irán al infinito siguiendo 3 asíntotas que se calcularán en la regla nº 4.

2. Lugar sobre el eje real del plano s.

Observando los polos y ceros de la F(s) se concluye que los puntos del eje real que pertenecen al Lugar de las Raíces están incluidos en los intervalos:

3. Simetría

El Lugar de las Raíces es simétrico respecto al eje real.

4. Asíntotas e intersección de las mismas.

Al ser el exceso polo-cero de F(s) igual a 3 habrá 3 ramas que para grandes valores de la ganancia K tiendan al infinito de forma asintótica. Estas asíntotas son rectas que forman, utilizando la fórmula (ec9), los siguientes ángulos con la parte positiva del eje real:

Las 3 asíntotas se cortan en el eje real a una distancia σ del origen (ec10):

A dicho punto se le denomina centroide.

5. Ángulos de salida y llegada de las ramas.

Ángulo de salida del polo s = 0:
Es evidente que dado que el intervalo pertenece al Lugar de las Raíces, la rama saldrá del origen con ángulo φ = 180∘ = π rad .
Ángulo de salida del polo s = -1: Por la misma razón que el caso anterior el ángulo de salida será φ = 0∘ = 0 rad
Ángulo de llegada al cero s = -2: Dada la pertenencia al Lugar de las Raíces del tramo , el ángulo de llegada será φ = 180∘ = π rad .
Ángulo de salida del polo s = -1 + j:

Considerando un punto auxiliar s₀ perteneciente al Lugar de las Raíces e infinitamente próximo al polo s = -1 + j (Figura 5) y aplicando el principio del argumento (ec11) se obtiene:

A partir de dicha expresión, se deduce que el ángulo de salida de la rama que parte de dicho polo es φ = -

Ángulo de salida del polo s = -1 - j:

Por simetría del Lugar de las Raíces con respecto al eje real, el ángulo de salida de esta rama tiene que ser simétrico al ángulo de salida de la rama del polo complejo conjugado. Por tanto, φ =

Figura 5: Cálculo gráfico del ángulo de salida de la rama que parte del polo s = -1 + j

En la Figura 6 se puede observar la construcción del Lugar de las Raíces con las reglas aplicadas hasta este momento.

Figura 6: Construcción del Lugar de las Raíces de la Figura 4.

6. Puntos de dispersión o confluencia de ramas.

Se observa que al menos han de existir dos puntos de dispersión, uno en el intervalo (- ∞, - 2]

y otro en

. Por un lado, en algún punto del primer intervalo confluirán las dos ramas que finalizan en los puntos s = -2 y s = -∞, y por el otro, en algún punto del segundo intervalo las dos ramas que parten de los puntos s = 0 y s = -1 tendrán que dispersarse.

Según la regla nº6 se tiene:

A continuación, se comprueba la pertenencia o no de estos puntos al Lugar de las Raíces. Para ello se aplica la condición del argumento de la ecuación característica de sistema en cada uno de dichos puntos. Aquellos puntos que satisfacen dicha condición pertenecen a Lugar de las Raíces y, por tanto, son puntos de confluencia o dispersión. Por último, el valor de la ganancia proporcional K para el cual se alcanza un punto de confluencia o dispersión se obtiene aplicando la condición del módulo de la ecuación característica del sistema en dicho punto. De este modo se deduce que:

es decir, por un lado, cuando K = 0.2, el polo que sigue la rama que parte del punto s = 0 y el que sigue aquella que parte de s = -1, se encuentran en el punto s = -0.48. Por otro lado, cuando K = 24.4 el polo del sistema que sigue la rama que finaliza en s = -2 y aquel que sigue la rama que finaliza en s = -∞ se encuentran en s = -2.5. Por tanto, s = -0.48 y s = -2.5 son puntos de dispersión o confluencia de ramas del Lugar de las Raíces del sistema.

7. Intersección con el eje imaginario.

La ecuación característica del sistema es:

Aplicando la regla de Routh-Hurwitz al polinomio característico se obtiene la tabla de Routh:

Analizando la primera columna se tiene que el rango de estabilidad de la ganancia proporcional K queda fijado en:

Utilizando los valores límite de la ganancia K y las ecuaciones auxiliares que con ellos se obtienen de la tabla de Routh-Hurwitz, se calculan los puntos de corte de las ramas del Lugar de las Raíces con el eje imaginario. De este modo, se deduce que:

es decir, existen tres puntos de corte con el eje imaginario. Uno de ellos es el punto s = 0 que corresponde al valor K = 0 y es, por tanto, el punto de arranque de una de las ramas del Lugar de las Raíces. Los otros dos puntos, s = ±1.2j, son polos del sistema cuando la ganancia K = 1.7. En este caso, el sistema es críticamente estable ya que hay dos polos en el eje imaginario y otros dos polos estables como se puede deducir de la tabla de Routh anteriormente evaluada cuando K = 1.7. Notad que los coeficientes de la primera columna de dicha tabla son todos positivos excepto el coeficiente de la fila correspondiente a s¹, el cual es nulo.

En definitiva, una vez aplicado el método de construcción del Lugar de las Raíces al ejemplo considerado, se obtiene la representación gráfica del mismo mostrada en la Figura 7:

Figura 7: Lugar de las Raíces del sistema de la Figura 4

A partir de dicha representación, se puede hacer el análisis de la dinámica del sistema según varíe el valor de la ganancia K del controlador proporcional. Primeramente, es necesario recordar la función de transferencia en lazo cerrado del sistema que se estudia:

Analizando tanto la función de transferencia en lazo cerrado como el Lugar de las Raíces de la Figura 7 se llegan a las siguientes conclusiones:

La ganancia del sistema en lazo cerrado es unitaria, siempre y cuando sea estable. Esto era evidente, por ser el sistema de tipo 1, y tener la realimentación ganancia unitaria.
En la función de transferencia en lazo cerrado existen dos ceros, uno de los cuales (s = -1) no consta como cero en el Lugar de las Raíces (se trata del polo de la realimentación) pero que tambien influye en la dinámica del sistema. Ambos ceros no dependen de la ganancia K, es decir, son fijos aunque el valor de K varíe.
El rango de estabilidad es:
Dado que los dos polos más alejados (los que recorren las ramas que parten de los puntos s = -1 ± j) son complejos conjugados para valores de la ganancia tal que K < 24,4, y el rango de estabilidad es 0 < K < 1.7, se concluye que la salida del sistema oscila siempre para entrada escalón. Es decir, para el rango de valores de K que garantizan la estabilidad del sistema, la función de transferencia del mismo posee al menos una pareja de polos complejos conjugados.
Los polos complejos conjugados que recorren las ramas que parten de los puntos s = -1 ± j nunca son dominantes.

Figura 8: Enumeración de los 4 polos de la función de transferencia en lazo cerrado

Para analizar más en profundidad el comportamiento del sistema según sea el valor de la ganancia proporcional será necesario estudiar la configuración de polos y ceros en lazo cerrado para varios intervalos de la ganancia proporcional K. Para simplificar la explicación se van a enumerar los polos en lazo cerrado según sea la rama por la que evolucionen, como se puede ver en la Figura 8.

Figura 9: Configuración polo-cero en lazo cerrado para 0 < K ≤ 0,2, y respuesta del sistema ante entrada escalón unitario.

0 < K ≤ 0.2: Los polos 1 y 2 son reales, siendo dominante el nº 1. Los otros dos polos estarán en algún punto cercano de los puntos de partida de sus correspondientes ramas (Figura 9). Los dos ceros son fijos y situados en s = -1 y s = -2. Además, si el valor de K es muy pequeño el polo real 2 estará lo suficientemente cercano al cero s = -1 como para compensar sus efectos contrarios en la dinámica del sistema. En dicho caso el sistema presenta un polo real dominante y muy cercano al origen, pudiéndose despreciar la influencia del resto de polos y ceros en la dinámica del sistema. Es decir, la respuesta del sistema ante entrada escalón sería muy lenta y sin prácticamente oscilaciones (Figura 9).

Figura 10: Configuración polo-cero en lazo cerrado para 0,2 < K < 1,7, y respuesta del sistema ante entrada escalón unitario.

0.2 < K < 1.7: Los polos 1 y 2 son complejos conjugados y dominantes. El cero s = -1 está bastante cerca de los polos dominantes, y el resto no estarán excesivamente lejos. Por tanto, la respuesta del sistema ante entrada escalón será oscilante con, previsiblemente, mayores oscilaciones y rebose que un sistema de segundo orden típico (sin ceros) con únicamente los polos 1 y 2 (Figura 10).

Figura 11: Configuración polo-cero en lazo cerrado para K = 1,7, y respuesta del sistema ante entrada escalón unitario.

K = 1.7: Los polos 3 y 4 siguen estando en algún punto de sus correspondientes ramas, seguramente cerca del punto de partida, mientras que los polos 1 y 2 se colocan en el eje imaginario, convirtiéndose por tanto en un sistema críticamente estable, con una salida oscilatoria no amortiguada ante entrada escalón (Figura 11).

Figura 12: Configuración polo-cero en lazo cerrado para K > 1,7, y respuesta del sistema ante entrada escalón unitario.

K > 1.7: Los polos 1 y 2 están ya en el semiplano derecho y, por lo tanto, el sistema en lazo cerrado es inestable (Figura 12) siendo innecesario un estudio más detallado de la dinámica del sistema.
K ≥ 24.4: Los polos 3 y 4 se convierten en reales, pero al ser el sistema inestable este cambio no supone nada reseñable.

3.3.5 Matlab ejemplo lugar de las raíces.

Para facilitar los cálculos usamos la función de matlab “sisotool” (figura 13), una herramienta para el diseño de sistemas lineales mediante el lugar de las raíces. A esta función debemos pasarle sólo la función de transferencia en lazo abierto. Una vez ejecutada la aplicación podemos añadir polos y ceros para formar el controlador y comprobar cómo sería la respuesta del sistema a un escalón como entrada.

Controlador en X-Y

El control en X-Y será igual debido a la simetría del quadrotor y que sale a relucir en el modelo. Por lo tanto, diseñaremos un controlador para X y este mismo controlador valdrá para el control en Y. La función de transferencia en lazo abierto para el control de X será:

Como se puede ver la G(s) no es más que dos integradores en el origen por una constante con lo cual, si esta función de transferencia es correcta no debemos de tener errores en régimen permanente al tener ya integradores en la G(s)

Como primera aproximación decidimos usar un controlador proporcional-derivativo (PD) debido a que deseamos que el movimiento del quadrotor sea suave y sin sobreoscilaciones

Situamos un cero real en -0.7142 y ajustamos la ganancia para que los polos sean reales. Además añadimos al controlador un polo de alta frecuencia para que sea una función propia.

En el lugar de las raíces (figura 33) comprobamos que los polos en lazo cerrado se situaran en las posiciones:

Figura 13: Lugar de las raíces PD.

En los resultados experimentales con el quadrotor comprobamos que el controlador PD no es válido porque presenta un error en régimen permanente. Esto nos indica que el modelo, como ya esperábamos, sólo es una aproximación.

Para solventar este error diseñamos un control proporcional-integral-derivativo, PID

Situamos un cero complejo en -0.6024±0.2446 y ajustamos la ganancia para que la respuesta ante un escalón sea parecida a un sistema de primer orden y añadimos al controlador un polo de alta frecuencia para que se una función propia.

En el lugar de las raíces (figura 14) vemos que los polos en lazo cerrado se situaran en las posiciones:

Figura 14: Lugar de las raíces PID.

Al final de este apartado se muestran los resultados obtenidos en Simulink con los distintos controladores y valoraremos estos resultados.

A continuación, se presentan una serie de videos didácticos para poder diseñar controladores por la técnica del lugar de las raíces, un ejemplo y en Matlab.