2.6 Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

 

Representa un método para determinar la localización de los ceros de un polinomio con coeficientes reales con respecto a los semiplanos izquierdo y derecho del plano s, sin obtener los ceros.

El criterio de Routh Hurwitz esta basado en el criterio de Hurwiz,  que se define como: la condición necesaria y suficiente de todas las raíces de la siguiente ecuación estén en el semiplano izquierdo del plano s es que los determinantes de Hurwitz de la ecuación.

Los determinantes de Hurwitz de la ecuación esta dada por:

ecuación 1 método de Hurwitz  

ecuación 2 criterio de Hurwitz 

En donde los coeficientes con índices mayores que n o negativos deben remplazarse con ceros. A primera vista la aplicación de los determinantes de Hurwitz parece muy complejo, es por eso que se Routh simplifico el proceso introduciendo un método de tabulación en lugar de los determinantes de Hurwitz. 

Tabulacion de Routh 

El primer paso en la simplificación del criterio de Hurwitz, ahora llamado Routh-Hurwitz es arreglar los coeficientes de la ecuación 1 en dos renglones, el primer renglón consiste del primer, tercer, quito,..., coeficientes, y el segundo renglón del segundo, cuarto, sexto,..., coeficientes, todos contados desde el primer orden mas alto como se muestra en la siguiente imagen.

criterio de tabulación de Routh-Hurwitz 

El siguiente paso es formar el siguiente arreglo de los números mediante las operaciones indicadas.

Tabulación de Routh 

El arreglo anterior se conoce como Tabulación de Routh o arreglo de Routh, la columna de lado izquierdo se utiliza como propósito de identificación. La columna de referencia mantiene el resto de los cálculos y el ultimo renglón de tabulación de Routh debe ser siempre el renglón s^0.

Una vez que la tabulación del criterio de Routh se a completado el ultimo paso es hacer las siguientes conclusiones: las raíces de la ecuación están todas en el semiplano izquierdo del plano s si todos los elementos de la primera columna de tabulación de Routh son del mismo signo, el numero de cambios de signos en la primera columna es igual al numero de raices con partes reales positivas o en el mismo derecho del plano s. 

Las relaciones entre los elementos en la primera columna de la tabulación de Routh y los determinantes de Hurwitz son: 

Por lo tanto si todos los determinantes de Hurwitz son positivos, los elementos en la primera columna de la tabulación de Routh deberán ser del mismo signo.